liu的小天地 世间百态 夫妻围坐的意思

夫妻围坐的意思

夫妻围坐 : 有4对夫妻一起共进午餐,围坐在一张圆桌旁。入席时,一位先生说,为了增加交流,我们能否男女间隔而坐,并且没有一对夫妇是相邻的。大家都表示赞同。请问,按这种要求,有多少种坐法?

图1

先安排女士就座。如果我们把一桌上8个座位编上号(1, 2, …, 8)。女士们可以坐奇数号座,也可以坐偶数号座;如果选定了坐奇号(偶号也一样),第一位女士就座时有4种可能的选择,第二位女士就座时只有3种可能的选择了……可见,安排女士们坐下,就有

2·4·3·2·1=48(种)

方法。
接下来安排男士就座,这是一个很复杂的事。为此,我们先把问题简单化一些。一对、两对夫妻围坐要达到本题的要求是不可能的。3对夫妻围坐,当女士就座之后,安排男士就座只有1种方法(图1);4对夫妻围坐,当女士就座之后,男士们有两种坐法(图2),所以,按照本题要求4对夫妻围坐共有48·2=96(种)方法。

图2

 

推广到一般情况,n对夫妻围坐的方法数Mn可用公式

Mn=2·n!·An

来计算,式中的An表示当女士们坐定后,n位男士的坐法,又称为夫妻数。最前面的几个夫妻数是A2=0, A3=1, A4=2, A5=13, A6=80, A7=579, A8=4738, A9=43387。这样,如果有5对夫妻围坐,而没有一对夫妻相邻的坐法,就有

2·5!·A5=2·5·4·3·2·1·13=3120(种)。

夫妻围坐问题是组合数学中一个著名的古典问题,1891年由法国数学家吕卡(E. Lucas)首先提出。

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